矩陣是否可以對角化的判斷

對 (n \times n) 矩陣 (A) 來說，

$A \text{ 可對角化 } \iff A \text{ 有 } n \text{ 個線性獨立的特徵向量}$

也就是說，若可以找到可逆矩陣 (P) 與對角矩陣 (D)，使得

$A = PDP^{-1}$

則 (A) 可對角化。

常用判斷方法

方法 1：有 (n) 個互異特徵值

如果 (A) 有 (n) 個互不相同的特徵值，
那麼 (A) 一定可對角化。

方法 2：比較代數重數與幾何重數

對每個特徵值 (\lambda)：

代數重數 (algebraic multiplicity)：
(\lambda) 在 characteristic polynomial 中出現的次數
幾何重數 (geometric multiplicity)：
對應 eigenspace 的維度
$\dim \ker(A-\lambda I)$

判斷條件為：

$A \text{ 可對角化 } \iff \text{對每個特徵值 } \lambda,\ \text{幾何重數}=\text{代數重數}$

而且所有 eigenspace 維度加總必須等於 (n)。

標準解題流程

Step 1：求特徵值

解 characteristic equation：

$\det(A-\lambda I)=0$

得到所有特徵值。

Step 2：看每個特徵值的代數重數

由 characteristic polynomial 判斷每個特徵值重複幾次。

Step 3：求每個特徵值的幾何重數

對每個特徵值 (\lambda)，解

$(A-\lambda I)x=0$

求出 eigenspace 的維度，也就是

$\dim \ker(A-\lambda I)$

Step 4：比較

若對每個特徵值都有
$\text{幾何重數}=\text{代數重數}$
則 (A) 可對角化。
只要有某個特徵值滿足
$\text{幾何重數}<\text{代數重數}$
則 (A) 不可對角化。

常見結論

一定可對角化

有 (n) 個不同特徵值
每個特徵值的幾何重數都等於代數重數

不一定可對角化

有重複特徵值時，不一定可對角化
必須再算 eigenspace 維度才能判斷

一定不可對角化

某個特徵值的幾何重數小於代數重數

例子 1：可對角化

$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

特徵值為 (1,2)，兩個不同，
所以 (A) 一定可對角化。

例子 2：不可對角化

$A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

特徵值只有 (2)，代數重數為 2。

計算：

$A-2I= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

解

$(A-2I)x=0$

可得只有一個自由變數，所以

$\dim \ker(A-2I)=1$

因此：

代數重數 = 2
幾何重數 = 1

所以 (A) 不可對角化。

三角矩陣的判斷技巧

若 (A) 是三角矩陣，
則它的特徵值就是對角線元素。

所以可以先看對角線：

若對角線元素全部不同
(\Rightarrow) 一定可對角化
若有重複
(\Rightarrow) 還要再算 eigenspace 維度

總結

$A \text{ 可對角化 } \iff A \text{ 有 } n \text{ 個線性獨立特徵向量}$

實際做題時，最重要的是：

求特徵值
看代數重數
算幾何重數
比較兩者是否相等

只要對每個特徵值都有

$\text{幾何重數}=\text{代數重數}$

就可以判斷 (A) 可對角化。