甚麼時候沒有反矩陣？

  • 方陣有反矩陣 ⇔ det 不為 0 ⇔ rank = n ⇔ 行列線性獨立 ⇔ 𝐴𝑥=0 ， Ax=0 只有零解 ⇔ 0 不是EigenValue

  • 解釋一下 :

    • det 不能是 0:
      因為 $A A^{-1} = I$，$det(A) * det(A^{-1}) = det(I) = 1$ ，所以det(A)不能是0
    • 齊次方程有非零解 :
      如果 $Ax = 0$ 有 $x != 0$的解，那A就不可逆
      因為如果有反矩陣，左右乘$A^{-1}$會得到 Ix = 0
      => 不可能還有非0解
    • 0 不是EigenValue
      因為 Av = λv 且 v != 0
      如果 λ = 0 則Av有非0解，因為v不為0，但Av卻是0。