矩陣與矩陣運算基礎

在線性代數中，矩陣（Matrix）是一種用於表示線性變換與解線性方程組的重要工具。
矩陣由數字依照**列（row）與行（column）**排列成長方形陣列。

1. 矩陣的表示法

令 $F$ 為一個域（Field），一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$ 為：

$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
\quad a_{ij} \in F
$$

其中：

$A$ 為 $m$ 列 $n$ 行矩陣
$a_{ij}$：第 $i$ 列、第 $j$ 行元素
行（row）：橫向排列
列（column）：縱向排列
$F^{m \times n}$：所有 $m \times n$ 矩陣所形成的集合

特別類型：

$n \times 1$：行向量（column vector）
$1 \times n$：列向量（row vector）
$F = \mathbb{R}$：實矩陣（real matrix）
$F = \mathbb{C}$：複矩陣（complex matrix）

2. 矩陣基本名詞

假設 $A \in F^{m \times n}$

(1) n 階方陣

若 $m = n$，則 $A$ 為 n 階方陣

(2) 對角項元素

若 $A$ 為方陣，$a_{ii}$ 稱為 對角項（diagonal element）

(3) 零矩陣

所有元素皆為 0：

$$
O =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
$$

(4) 負矩陣

若 $B$ 的所有元素皆為 $-a_{ij}$，則 $B = -A$

(5) n 階單位矩陣 $I_n$

對角線為 1、其他為 0：

$$
I_n =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$

(6) 上三角與嚴格上三角矩陣

上三角矩陣（$i > j$ 時 $a_{ij} = 0$）：

$$
A =
\begin{bmatrix}
* & * & * \\
0 & * & * \\
0 & 0 & *
\end{bmatrix}
$$

嚴格上三角（對角全 0）：

$$
A =
\begin{bmatrix}
0 & * & * \\
0 & 0 & * \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

(7) 下三角與嚴格下三角矩陣

下三角矩陣（$i < j$ 時 $a_{ij} = 0$）：

$$
A =
\begin{bmatrix}
* & 0 & 0 \\
* & * & 0 \\
* & * & *
\end{bmatrix}
$$

嚴格下三角：

$$
A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
* & 0 & 0 \\
* & * & 0
\end{bmatrix}
$$

(8) 對角矩陣

上三角 + 下三角 ⇒ 只有對角線可能非零

3. 常見矩陣類型表（整理版）

類型	符號	特徵
零矩陣	$O$	所有元素皆 0
單位矩陣	$I_n$	對角線為 1
對角矩陣	—	僅對角線可能非零
方陣	$m=n$	行列相同
轉置矩陣	$A^T$	行列互換

4. 矩陣的基本運算

(1) 矩陣加減法

若 $A,B \in M_{m \times n}(F)$：

$$
A + B = [a_{ij} + b_{ij}],\quad
A - B = [a_{ij} - b_{ij}]
$$

(2) 純量乘法

$$
kA = [k a_{ij}],\quad k \in F
$$

(3) 矩陣乘法

若 $A \in M_{m \times p}(F)$、$B \in M_{p \times n}(F)$：

$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}
$$

範例：

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix},
\quad
B =
\begin{bmatrix}
9 & 8 & 7 \\
6 & 5 & 4 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
$$

$$
C = AB =
\begin{bmatrix}
30 & 24 & 18 \\
84 & 69 & 54 \\
138 & 114 & 90
\end{bmatrix}
$$

⚠ 矩陣乘法不可交換：
$$AB \neq BA$$
⚠ 相乘條件：前矩陣列數 = 後矩陣行數