Diffie–Hellman 是一個金鑰交換的演算法

DH 在解決什麼問題？

  • 在不安全通道上，Alice 與 Bob 協議出共同秘密金鑰 $K$，用於對稱加密（如 AES）。

公開參數

  • 質數 $p$
  • 生成元 $g$
    所有運算皆在 $\bmod p$ 下進行。

協議流程

Alice 選私鑰 $a$，公開 $A=g^a \bmod p$。
Bob 選私鑰 $b$，公開 $B=g^b \bmod p$。
共享秘密：

  • Alice：$K=B^a \bmod p$
  • Bob：$K=A^b \bmod p$
    正確性：$(g^b)^a \equiv (g^a)^b \equiv g^{ab}\pmod p$。

注意 : 不是 $(g^a) \times cross (g^b) = g^{a+b}$

手算例

選 $p=23, g=5$。
Alice：$a=6 \Rightarrow A=5^6 \bmod 23=8$。
Bob：$b=15 \Rightarrow B=5^{15} \bmod 23=19$。
共享：

  • $K=19^6 \bmod 23=2$
  • $K=8^{15} \bmod 23=2$

安全性直覺

Eve 看到 $p,g,A,B$，想求 $K=g^{ab}$ 通常需先解離散對數 $a=\log_g(A)$ 或 $b=\log_g(B)$，在參數夠大時很困難。

重要弱點：MITM(Man-in-the-middle)

DH 本身不做身分認證，若被中間人改寫公開值，Alice/Bob 會各自與 Eve 建立不同的 key。
解法：用簽章、憑證、PSK 等方式對 DH 公開值做認證。

延伸

  • DHE/ECDHE：每次連線使用臨時私鑰，提供 Forward Secrecy
  • ECDH：用橢圓曲線點乘取代指數運算
  • 實務會用 KDF 將共享秘密導出 session key